Às vezes, os nossos sistemas de números usuais não são suficientes para resolver um problema. Os matemáticos no século XIX entenderam isso quando tentaram "quebrar" o último teorema de Fermat, que até então tinha em torno de 200 anos, e foi considerado o maior problema em aberto na Teoria dos Números.
O último teorema de Fermat prevê que não há soluções inteiras positivas para equações da forma a^n + b^n = c^n, para n maior que 2. Parece impossível provar essa afirmação trabalhando apenas com os números inteiros (1, 2, 3 ...), assim os matemáticos foram à procura de valores mais exóticos que pudessem se "incorporar" aos números comuns para melhorar a situação.
Eles os encontraram. Na verdade, eles pensavam que, para provar o último teorema de Fermat, precisavam criar um sistema numérico que incluía um valor selvagem: e^(2πi / n). É um mashup de termos matemáticos famosos, incluindo o logaritmo natural e, π e o número imaginário i, mas apesar dessa complexidade externa, ele se reduz a uma idéia muito simples. O valor, quando você classifica todas as peças, é equivalente ao que é chamado raiz n-ésima da unidade - um número que você multiplica com si mesmo n vezes para obter 1.
Quando você está trabalhando com inteiros, há apenas duas raízes de um: 1 e -1. Mas quando você está trabalhando com números complexos (números que incluem uma parte real e uma parte imaginária), há muitos. E esses valores - todas as raízes da unidade - pareciam desbloquear o Último Teorema de Fermat. Ao misturá-los com os números padrão, os matemáticos foram capazes de quebrar as equações descritas por Fermat em pedaços mais simples e provar que não há números inteiros maiores do que 2 que satisfazê-los.
Exceto que havia um problema. Expandindo o sistema de números para incluir novos valores, os matemáticos perderam algo essencial: a fatoração única. Primos são os átomos de um sistema numérico - seus blocos de construção fundamentais - e a fatoração única garante que qualquer número, como 12, pode ser expressa unicamente como um produto de primos: 2 x 2 x 3. Os sistemas numéricos expandidos usados para resolver O Último Teorema de Fermat, produziam fatorações em primos "concorrentes", tornando estes sistemas uma base, em última instância, instável sobre a qual construir uma prova.
"Mesmo hoje, em muitas provas falsas do Último Teorema de Fermat encontradas por amadores, em algum lugar este é o erro - eles estão assumindo em alguns desses sistemas maiores de números, que os números podem ser exclusivamente decompostos em primos", disse Manjul Bhargava, um Matemático na Universidade de Princeton. "É tão contra-intuitivo pensar que poderia falhar para um sistema maior número, mas às vezes acontece."
Para mais detalhes sobre estes sistemas de números, leia a interessante matéria da Quanta Magazine:
https://www.quantamagazine.org/20170302-class-numbers-and-the-symmetries-of-groups/
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