Matemáticos medem infinitos e provam que eles são iguais

Em um avanço que refuta décadas de sabedoria convencional, dois matemáticos mostraram que duas variantes diferentes do infinito são, na verdade, do mesmo tamanho. O avanço toca em um dos problemas mais famosos e intratáveis ​​na matemática: se existem infinitos entre o tamanho infinito dos números naturais e o tamanho infinito maior dos números reais.

O problema foi identificado pela primeira vez há mais de um século. Na época, os matemáticos sabiam que "os números reais são maiores que os números naturais, mas não quanto maiores. É o próximo tamanho maior, ou há um tamanho entre eles? ", Disse Maryanthe Malliaris, da Universidade de Chicago, co-autor do novo trabalho junto com Saharon Shelah da Universidade Hebraica de Jerusalém e da Universidade Rutgers.

Em seu novo trabalho, Malliaris e Shelah resolvem uma questão relacionada de 70 anos sobre se um infinito (que podemos denotar por p) é menor do que outro infinito (que podemos denotar por t). Eles provaram que os dois são de fato iguais, para a surpresa dos matemáticos.

"Foi certamente minha opinião, e a opinião geral, que p deve ser menor do que t", disse Shelah.

Malliaris e Shelah publicaram sua prova no ano passado no Journal of the American Mathematical Society e foram homenageados em julho passado com um dos principais prêmios no campo da teoria de conjuntos. Mas seu trabalho tem ramificações muito além da questão específica de como esses dois infinitos estão relacionados. Ele abre um link inesperado entre os tamanhos de conjuntos infinitos e um esforço paralelo para mapear a complexidade das teorias matemáticas.

Fonte: Quanta Magazine
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Programação - Seminário de Álgebra 2017.2

Defesa de Dissertação de Mestrado

TÍTULO: Criptografia de Curvas Elípticas

Candidato: Rigo Julian Osorio Angulo

Banca Examinadora:

Profa. Dra. Ana Paula de Araújo Chaves (Orientadora) -  IME/UFG
Prof. Dr. Hemar Teixeira Godinho - MAT/UnB
Prof. Dr. Paulo Henrique de Azevedo Rodrigues - IME/UFG
Prof. Dr. Jhone Caldeira Silva (Suplente) - IME/UFG

Dia: 15/03/2017
Local: Sala Multimídia do LEMAT
Hora: 14h

A "quase-prova" do Último Teorema de Fermat

Às vezes, os nossos sistemas de números usuais não são suficientes para resolver um problema. Os matemáticos no século XIX entenderam isso quando tentaram "quebrar" o último teorema de Fermat, que até então tinha em torno de 200 anos, e foi considerado o maior problema em aberto na Teoria dos Números.
O último teorema de Fermat prevê que não há soluções inteiras positivas para equações da forma a^n + b^n = c^n, para n maior que 2. Parece impossível provar essa afirmação trabalhando apenas com os números inteiros (1, 2, 3 ...), assim os matemáticos foram à procura de valores mais exóticos que pudessem se "incorporar" aos números comuns para melhorar a situação.
Eles os encontraram. Na verdade, eles pensavam que, para provar o último teorema de Fermat,  precisavam criar um sistema numérico que incluía um valor selvagem: e^(2πi / n). É um mashup de termos matemáticos famosos, incluindo o logaritmo natural e, π e o número imaginário i, mas apesar dessa complexidade externa, ele se reduz a uma idéia muito simples. O valor, quando você classifica todas as peças, é equivalente ao que é chamado raiz n-ésima da unidade - um número que você multiplica com si mesmo n vezes para obter 1.
Quando você está trabalhando com inteiros, há apenas duas raízes de um: 1 e -1. Mas quando você está trabalhando com números complexos (números que incluem uma parte real e uma parte imaginária), há muitos. E esses valores - todas as raízes da unidade - pareciam desbloquear o Último Teorema de Fermat. Ao misturá-los com os números padrão, os matemáticos foram capazes de quebrar as equações descritas por Fermat em pedaços mais simples e provar que não há números inteiros maiores do que 2 que satisfazê-los.
Exceto que havia um problema. Expandindo o sistema de números para incluir novos valores, os matemáticos perderam algo essencial: a fatoração única. Primos são os átomos de um sistema numérico - seus blocos de construção fundamentais - e a fatoração única garante que qualquer número, como 12, pode ser expressa unicamente como um produto de primos: 2 x 2 x 3. Os sistemas numéricos expandidos usados ​​para resolver O Último Teorema de Fermat, produziam fatorações em primos "concorrentes", tornando estes sistemas uma base, em última instância, instável sobre a qual construir uma prova.
"Mesmo hoje, em muitas provas falsas do Último Teorema de Fermat encontradas por amadores, em algum lugar este é o erro - eles estão assumindo em alguns desses sistemas maiores de números, que os números podem ser exclusivamente decompostos em primos", disse Manjul Bhargava, um Matemático na Universidade de Princeton. "É tão contra-intuitivo pensar que poderia falhar para um sistema maior número, mas às vezes acontece."

Para mais detalhes sobre estes sistemas de números, leia a interessante matéria da Quanta Magazine:
https://www.quantamagazine.org/20170302-class-numbers-and-the-symmetries-of-groups/

Lançamento do 1º volume da série Estruturas Algébricas para Licenciatura

O Prof. Dr. Jhone Caldeira Silva, do Grupo de Álgebra e Teoria dos Números (IME-UFG), em conjunto com o Dr. Olimpio Ribeiro Gomes (CGU), lançaram, no início deste ano, o primeiro volume da série Estruturas Algébricas para Licenciatura - Fundamentos de Matemática.
Estruturas Algébricas para Licenciatura é um conjunto de obras que visa auxiliar professores e alunos no processo de ensino e aprendizagem de fundamentos básicos de matemática, da teoria de conjuntos e das principais estruturas algébricas. As demonstrações são desenvolvidas com clareza; exemplos e exercícios são apresentados com o intuito de facilitar o entendimento e a aplicação dos resultados. Ao final de cada livro, são apresentadas respostas de alguns exercícios propostos. Neste volume, Fundamentos de Matemática, são abordadas noções de lógica, teoria de conjuntos, relações e funções.
O livro pode ser adquirido através da editora Blucher, ou pelo link: https://www.blucher.com.br/livro/detalhes/estruturas-algebricas-para-licenciatura-1241